✎☛ Lever une indétermination dans une somme

Méthode

Pour lever une indétermination dans une somme, il peut être judicieux de  factoriser par le terme qui tend «  le plus vite  »  vers l'infini pour ensuite utiliser les règles sur les produits.

Énoncé

Déterminer \(\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5x^4-3x^3+4x+1\right)\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\text{e}^x-x^2\right)\) .

Solution

Pour tout réel  \(x \neq 0\) ,  \(-5x^4-3x^3+4x+1=x^4\left(-5-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{x^4}\right)\) .
\(\lim\limits_{x \to -\infty}x^4=+\infty\)  et \(\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{x^4}\right)=-5\)  
donc par produit \(\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5x^4-3x^3+4x+1\right)=-\infty\) .

Pour tout réel \(x\) , \(\text{e}^x-x^2=\text{e}^x\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)\) .
\(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty\) .
\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^2}=+\infty\)  par croissances comparées . Donc p ar inverse \(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}=0\) .
On en déduit que \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)=1\) .
Enfin, par produit, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)=+\infty\) .